Question

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，
f（x）=cos

πx

2

，則以下正確命題的序號是

 

①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；
③f（x）的最大值是1，最小值是0；
④f（x）的一個對稱中心是（5，0）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用

分析：由偶函數(shù)的定義得，f（-x）=f（x），再由對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），得到函數(shù)的周期為2，從而得到f（2+x）=f（-x），可判斷①；由當x∈[0，1]時，f（x）=cos

πx

2

，和周期為2，及對稱性，可判斷②；由單調性即可判斷③；由對稱性，可判斷④．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是以2為最小正周期的函數(shù)，
∴f（2+x）=f（-x），即f（1-x）=f（1+x），故①對；
∵當x∈[0，1]時，f（x）=cos

πx

2

，∴[0，1]為減區(qū)間，f（0）最大為1，f（1）最小為0．
由f（x）的圖象關于x=1對稱，得[1，2]為增區(qū)間，由周期得，[2，3]為減區(qū)間，故②錯；
故f（x）的最大為1，最小為0，即③對；
當x=5時，f（5）=f（1）=0，x=5為對稱軸，（5，0）不為對稱中心，故④錯．
故答案為：①③．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性和對稱性和應用，屬于中檔題．