Question

數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_n+T=a_n對于任意的非零自然數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時，求該數(shù)列前2007項和是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），x₃=|x₂-x₁|=|1-a|．對進行分類討論，得到當(dāng)a=1時，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，它從第一項起，每三項之和為1+1+0=2，再由

2007

3

=669，能求出數(shù)列的前2007項和．

解答： 解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=|1-a|，
當(dāng)a≥1時，有：x₃=a-1，
x₄=|x₃-x₂|=|（a-1）-a|=1=x₁，
x₅=|x₄-x₃|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①當(dāng)a≤2時，有：x₅=2-a
此時，若x₅=x₂，即：2-a=a，則：a=1
就有：
x₁=x₄=1，
x₂=x₅=1，
x₃=0
則，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：
x_m+3=x_m，即最小周期為3
②當(dāng)a＞2時，有：x₅=a-2，
此時，若x₅=x₂，即：a-2=a，顯然是不可能的．
（2）當(dāng)a＜1時，有：x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，
x₄=|x₃-x₂|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x₂，
此時，若x₄=x₁，即：1-2a=1，則：a=0
與已知矛盾，不符合條件．
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時，有：x₄=2a-1，
x₅=|x₄-x₃|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此時，若x₃=x₁，即：1-a=1，則a=0，這與a≠0相矛盾．
若x₄=x₁，即：2a-1=1，則a=1，這與a＜1相矛盾．
若x₅=x₁，那么即使其成立，其周期為4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考慮．
③當(dāng)a＜0時，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同樣存在上述②的情況．
綜上：當(dāng)a=1時，數(shù)列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，
它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，
它從第一項起，每三項之和為1+1+0=2，則：

2007

3

=669
∴數(shù)列的前2008項和S₂₀₀₈=669×2=1338．
故答案為1338．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．解題時要多次進行分類討論，容易出錯．一定要細心計算，避免錯誤．