Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x₁，y₁）在單位圓O上，∠xOA=α，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（1）若cos（α+

π

3

）=-

11

13

，求x₁的值；
（2）若B（x₂，y₂）也是單位圓O上的點(diǎn)，且∠AOB=

π

3

．過點(diǎn)A、B分別做x軸的垂線，垂足為C、D，記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂．設(shè)f（α）=S₁+S₂，求函數(shù)f（α）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)的定義有x₁=cosα，求得sin(α+

π

3

)=

4 3

13

，根據(jù)x1=cosα=cos[(α+

π

3

)-

π

3

]，利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．
（2）求得得S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α，S₂=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．可得f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)，化簡(jiǎn)為

3

4

sin（2α-

π

6

）．再根據(jù) 2α-

π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（α）取得最大值

解答： 解：（1）由三角函數(shù)的定義有x₁=cosα，
∵cos（α+

π

3

）=-

11

13

，α∈（

π

6

，

π

2

），∴sin(α+

π

3

)=

4 3

13

，
∴x1=cosα=cos[(α+

π

3

)-

π

3

]=cos(α+

π

3

)cos

π

3

+sin(α+

π

3

)sin

π

3

=-

11

13

•

1

2

+

4 3

13

•

3

2

=

1

26

．
（2）由y₁=sinα，得S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α．
由定義得x2=cos(α+

π

3

)，y2=sin(α+

π

3

)，
又 由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
于是，S2=-

1

2

x2y2=-

1

2

cos(α+

π

3

)sin(α+

π

3

)=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．
∴f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)=

1

4

sin2α-

1

4

(sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

)
=

3

8

sin2α-

3

8

cos2α=

3

4

(

3

2

sin2α-

1

2

cos2α)=

3

4

sin（2α-

π

6

）．
再根據(jù) 2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），可得當(dāng)2α-

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

時(shí)，函數(shù)f（α）取得最大值

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．