Question

4．A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km，已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比．比例系數(shù)為λ，若A城供電量為10億度/月，B城為20億度/月，當(dāng)x=20km時，A城的月供電費用為1000．
（1）把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求定義域．
（2）核電站建在距A城多遠時，才能使用供電總費用最�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)A、B兩城供電費用分別為y₁，y₂，即有y₁=10λx²，y₂=20λ（100-x）²，由x=20，y₁=1000，可得λ，總費用y=y₁+y₂，整理即可；因為核電站距A城xkm，則距B城（100-x）km，由x≥10，且100-x≥10，得x的范圍；
（2）因為函數(shù)y=7.5x²-1000x+50000是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，x=-$\frac{2a}$時，函數(shù)y取得最小值．

解答 解：（1）設(shè)A、B兩城供電費用分別為y₁，y₂，
即有y₁=10λx²，y₂=20λ（100-x）²，
由x=20，y₁=1000，可得λ=0.25，
A城供電費用為y₁=0.25×10x²，B城供電費用y₂=0.25×20（100-x）²；
所以總費用為：y=y₁+y₂=7.5x²-1000x+50000（其中10≤x≤90）；
∵核電站距A城xkm，則距B城（100-x）km，
∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90；
所以定義域是{x|10≤x≤90}．
（2）因為函數(shù)y=7.5x²-1000x+50000（其中10≤x≤90），
當(dāng)x=-$\frac{-1000}{2×7.5}$=$\frac{200}{3}$∈[10，90]時，此函數(shù)取得最小值；
所以，核電站建在距A城$\frac{200}{3}$km處，能使A、B兩城月供電總費用最小．

點評 本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，二次函數(shù)求最值時，通�？紤]是否取在對稱軸處，屬于中檔題．