Question

14．已知函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$，函數(shù)$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}$x．
（1）若g（mx²+2x+m）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m、n，使得函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）$的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若$y=g（{m{x^2}+2x+m}）={log_{\frac{1}{2}}}（{m{x^2}+2x+m}）$的定義域?yàn)镽，則真數(shù)大于0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）令$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，則函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3可化為：y=t²-2at+3，$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論各種情況下h（a）的表達(dá)式，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（3）假設(shè)存在，由題意，知$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$解得答案．

解答 解：（1）∵$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$，
∴$y=g（{m{x^2}+2x+m}）={log_{\frac{1}{2}}}（{m{x^2}+2x+m}）$，
令u=mx²+2x+m，則$y={log_{\frac{1}{2}}}u$，
當(dāng)m=0時(shí)，u=2x，$y={log_{\frac{1}{2}}}2x$的定義域?yàn)椋?，+∞），不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)m≠0時(shí)，若$y={log_{\frac{1}{2}}}u$的定義域?yàn)镽，
則$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=4-4{m}^{2}＜0\end{array}\right.$，
解得m＞1，
綜上所述，m＞1     …（4分）
（2）$y={[{f（x）}]^2}-2af（x）+3={（{\frac{1}{2}}）^{2x}}-2a{（{\frac{1}{2}}）^x}+3$=${[{{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]^2}-2a{（{\frac{1}{2}}）^x}+3$，x∈[-1，1]，
令$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，則$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，y=t²-2at+3，$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$
∵函數(shù)y=t²-2at+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以t=a為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
故當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，$t=\frac{1}{2}$時(shí)，$h（a）={y_{min}}=\frac{13}{4}-a$；
當(dāng)$\frac{1}{2}≤a≤2$時(shí)，t=a時(shí)，$h（a）={y_{min}}=3-{a^2}$；
當(dāng)a＞2時(shí)，t=2時(shí)，h（a）=y_min=7-4a．
綜上所述，$h（a）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{13}{4}-a，a＜\frac{1}{2}}\\{3-{a^2}，\frac{1}{2}≤a≤2}\\{7-4a，a＞2}\end{array}}\right.$…（10分）
（3）$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）={log_{\frac{1}{2}}}{（{\frac{1}{2}}）^{x^2}}={x^2}$，
假設(shè)存在，由題意，知$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}}\right.$，
∴存在m=0，n=2，使得函數(shù)$y={log_{\frac{1}{2}}}f（{x^2}）$的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇0，4]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．