Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=x+

a2

x

+5，則當x＞0時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

 

；又若對一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，則a的取值范圍是

 

．（用區(qū)間或集合表示）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，即可求出x＞0時的表達式，根據(jù)基本不等式的解法即可求出a的取值范圍．

解答： 解：若x＞0，則-x＜0，
∵當x＜0時，f（x）=x+

a2

x

+5，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5=-f（x），
∴f（x）=x+

a2

x

-5，（x＞0）．
當x＞0時，f（x）=x+

a2

x

-5≥2

x• a2 x

-5=2|a|-5，
若對一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，
則2|a|-5≥a+1，
若a≥0，不等式等價為2a-5≥a+1，
解得a≥6，
若a＜0，不等式等價為-2a-5≥a+1，
解得a≤-2，
綜上a的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞），
故答案為：x+

a2

x

-5，（-∞，-2]∪[6，+∞），

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用基本不等式的解法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．