Question

8．直線l的極坐標方程為：ρcosθ-ρsinθ+4=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）寫出l與C的直角坐標方程
（2）求C上的點到l距離的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出l的直角坐標方程，由cos²α+sin²α=1，能求出C的直角坐標方程．
（2）求出C上的點（2cosθ，sinθ）到直線x-y+4=0的距離，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出C上的點到l距離的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標方程為：ρcosθ-ρsinθ+4=0，
ρcosθ=x，ρsinθ=y
∴l(xiāng)的直角坐標方程為x-y+4=0．
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
cos²α+sin²α=1，
∴C的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴C上的點（2cosθ，sinθ）到直線x-y+4=0的距離：
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{5}sin（θ+α）+4|$，
∴C上的點到l距離的最大值為$akib7ny_{max}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，最小值為$cqvyij1_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程、普通方程的互化，考查點到直線距離的最值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理運用．