Question

（本小題滿分12分）設(shè)二項(xiàng)式的展開式中第7項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第7項(xiàng)的系數(shù)之比是．（Ⅰ）求；（Ⅱ）展開式中有多少項(xiàng)的系數(shù)是有理數(shù)，指出它們分別是哪幾項(xiàng)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）第1項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)和第10項(xiàng)

第7項(xiàng)即，    而倒數(shù)第7項(xiàng)即二項(xiàng)式的第7項(xiàng)，也即，依題意有，化簡得，∴；
（Ⅱ）展開式的通項(xiàng)為，
欲對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是有理數(shù)，則和都為整數(shù)，注意到，，∴、3、6、9，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)分別是第1項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)和第10項(xiàng)．                          ……12分
（它們分別為：，，，，兩種結(jié)果同樣得滿分）
本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬基本題