Question

19．求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可以想著分子分母同除以x²-x，從而需討論x²-x=0和x²-x≠0：x²-x=0時便得到y(tǒng)=0，而x²-x≠0時可得出$y=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，從而可求x²-x的范圍，直到求出$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$的范圍，這兩種情況的y范圍求并集即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：①若x²-x=0，則y=0；
②若x²-x≠0，則y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$；
${x}^{2}-x=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$；
∴$-\frac{1}{4}≤{x}^{2}-x＜0$，或x²-x＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}-x}≤-4，或\frac{1}{{x}^{2}-x}＞0$；
∴$1+\frac{1}{{x}^{2}-x}≤-3$，或$1+\frac{1}{{x}^{2}-x}＞1$；
∴$-\frac{1}{3}≤\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}＜0$，或$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}＜1$；
∴綜上得原函數(shù)的值域為$[-\frac{1}{3}，1）$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，配方求二次函數(shù)的值域，由x的范圍求$\frac{1}{x}$的范圍的方法：同向的不等式取倒數(shù)，不等號方向改變，使用本題方法時不要漏了討論x²-x是否為0．