設是拋物線上相異兩點，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標準方程.

（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

 

【答案】

（1）.（2）直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值.

【解析】

試題分析：（1）確定拋物線的標準方程，關鍵是確定的值.利用，可得，

再根據(jù)P、Q在拋物線上，得到，集合已知條件，得4p2＝4，p=1．

（2）設直線PQ過點，且方程為，應用聯(lián)立方程組

消去x得y2 2my 2a＝0，利用韋達定理，建立的方程組，確定得到，利用“弦長公式”求解.

試題解析： （1）∵　·＝0，則x1x2＋y1y2＝0，             1分

又P、Q在拋物線上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得

 ＋y1y2＝0， y1y2＝ 4p2　

             3分

又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．

所以拋物線的方程為:       5分

（2）設直線PQ過點E(a,0）且方程為x＝my＋a

聯(lián)立方程組

消去x得y2 2my 2a＝0

∴　      ①　                7分

設直線PR與x軸交于點M(b,0)，則可設直線PR方程為x＝ny＋b,并設R(x3,y3)，

同理可知   ②　　             9分

由①、②可得 

由題意，Q為線段RT的中點，∴　y3＝2y2，∴b=2a

又由（Ⅰ）知， y1y2＝ 4，代入①，可得

 2a＝ 4 　　∴　　a＝2．故b＝4．           11分

∴

∴.

當n=0，即直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值          14分

考點：拋物線標準方程，直線與拋物線的位置關系.

 

練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)設P（x1，y1），Q（x2，y2） 是拋物線C：y2=2px（p＞0）上相異兩點，且
OP
•
OQ
=0，直線PQ 與x 軸相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 軸的距離的積為4，求p的值；
（Ⅱ）若p為已知常數(shù)，在x 軸上，是否存在異于E 的一點F，使得直線PF 與拋物線的另一交點為R，而直線RQ 與x 軸相交于T，且有
TR
=3
TQ
，若存在，求出F 點的坐標（用p 表示），若不存在，說明理由．

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（2013•濟南二模）設P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線y2=2px（p＞0）上相異兩點，Q、P到y(tǒng)軸的距離的積為4且
OP
•
OQ
=0．
（1）求該拋物線的標準方程．
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

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如圖，設P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線C：y2=2px（p＞0）上相異兩點，且數(shù)學公式，直線QP與x軸相交于E．
（Ⅰ）若Q、P到x軸的距離的積為4，求該拋物線方程及△OPQ的面積的最小值．
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點F，使直線PF與拋物線的另一交點為R（與點Q不重合），而直線RQ與x軸相交于T，且有數(shù)學公式，若存在，求出F點的坐標（用p表示），若不存在，說明理由．

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設P（x1，y1），Q（x2，y2） 是拋物線C：y2=2px（p＞0）上相異兩點，且，直線PQ 與x 軸相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 軸的距離的積為4，求p的值；
（Ⅱ）若p為已知常數(shù)，在x 軸上，是否存在異于E 的一點F，使得直線PF 與拋物線的另一交點為R，而直線RQ 與x 軸相交于T，且有，若存在，求出F 點的坐標（用p 表示），若不存在，說明理由．

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