Question

已知f(x)=

x2+ax+11

x+1

(a∈R)對(duì)任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，則a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分類(lèi)，利用函數(shù)的最值關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對(duì)任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，
∴

x2+ax+11

x+1

≥3，
即x²+ax+11≥3（x+1）恒成立，
∴ax≥-x²+3x-8，
即a≥-x+3-

8

x

對(duì)任意x∈N^*恒成立，
設(shè)g（x）=-x+3-

8

x

=3-（x+

8

x

）在（0，

8

）上單調(diào)遞增，在（

8

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）的最大值在x=3或x=2處取得，
∵g（2）=-3，g（3）=-

8

3

＞g（2），
∴g（x）的最大值為，g（3）=-

8

3

，
∴a≥-

8

3

，
即a的最小值為-

8

3

，
故答案為：-

8

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．