Question

19．對(duì)于函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），解答下述問題
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）若函數(shù)在[-1，+∞）內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（4）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞），求實(shí)數(shù)a的值
（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]，求實(shí)數(shù)a的值
（6）若函數(shù)（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 內(nèi)函數(shù)的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，當(dāng)x=a時(shí)，t=x²-2ax+3取最小值3-a²；
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則3-a²＞0；
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則3-a²≤0；
（3）若函數(shù)在[-1，+∞）內(nèi)有意義，則a≤-1時(shí)，t|_x=-1=x²-2ax+3=2a+4＞0；a＞-1時(shí)，3-a²＞0；
（4）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞），則1+3=2a：
（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]，則3-a²=2；
（6）若函數(shù)（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，則a≥1，且t|_x=1=x²-2ax+3=-2a+4＞0．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），
令t=x²-2ax+3，則t=x²-2ax+3的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x=a時(shí)，t=x²-2ax+3取最小值3-a²，
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，
則3-a²＞0，解得：a∈（$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，
則3-a²≤0，解得：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）；
（3）若函數(shù)在[-1，+∞）內(nèi)有意義，
則a≤-1時(shí)，t|_x=-1=x²-2ax+3=2a+4＞0，解得：a∈（-2，-1]，
則a＞-1時(shí)，3-a²＞0，解得：a∈（-1，$\sqrt{3}$]，
綜上所述a∈（-2，$\sqrt{3}$]，
（4）若函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞），
則1+3=2a，解得a=2，
（5）若函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1]，
3-a²=2，解得a=±1，
（6）若函數(shù)（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，
則a≥1，且t|_x=1=x²-2ax+3=-2a+4＞0，解得：a∈[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．