Question

10．化簡方程$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，使結(jié)果不含根式．

Answer 1

分析 解法一：令$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=m，又$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，k可得$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{m+4}{2}$，$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4-m}{2}$．平方相減可得：8x=-4m，
于是$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2+x，兩邊平方化簡即可得出．
解法二：由于（2，0）與（-2，0）兩點(diǎn)之間的距離d=4．即可得出（x，y）表示線段y=0（-2≤x≤2）．

解答 解法一：令$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=m，又$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=4，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{m+4}{2}$，$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4-m}{2}$．
∴平方相減可得：8x=-4m，
∴m=-2x．
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2+x，
兩邊平方可得：y=0（-2≤x≤2）．
解法二：∵（2，0）與（-2，0）兩點(diǎn)之間的距離d=4．
∴（x，y）表示線段y=0（-2≤x≤2）．

點(diǎn)評 本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式、“換元法”、兩點(diǎn)之間的距離，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．