Question

13．已知$\left\{\begin{array}{l}sinθ-cosθ=\frac{1}{5}\\ si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1\end{array}\right.$，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinθ+cosθ 的值，解方程組求得sinθ和cosθ的值．

解答 解：∵已知$\left\{\begin{array}{l}sinθ-cosθ=\frac{1}{5}\\ si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1\end{array}\right.$，∴1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$＞0，
∴sinθ 和cosθ的符號相同．
故sinθ+cosθ=±$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=±$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=±$\frac{7}{5}$．
當sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$，求得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$；
當sinθ+cosθ=-$\frac{7}{5}$，求得sinθ=-$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．