Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）若存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若的極大值為，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由題意得按，分類(lèi)討論，計(jì)算實(shí)數(shù)a的取值范圍即可；

（2）由（1）知，的極大值為，，令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，即可證得.

（1）由題意得，令，則．

∴當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，∴．

①當(dāng)，即時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，

從而在上無(wú)極值．

②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增，

故是在上的極小值．

綜上，．

（2）由（1）知，的極大值為．

又，，

令，，則，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，，.