Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設其導函數(shù)為f′（x），當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-1）的實數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A、（-2，1）
• B、（-1，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，2）
• D、（-1，2）

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式xf′（x）＜f（-x），等價為xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即當x∈（-∞，0]時，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）為偶數(shù)，且當x＞0為增函數(shù)．
即不等式F（3）＞F（2x-1）等價為F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即實數(shù)x的取值范圍是（-1，2），
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系的應用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系，是解決本題的關鍵，綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應用．