Question

若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）：
（1）求f（0），并證明f（x）為奇函數(shù)； 
（2）若f（1）=3，求f（-5）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知條件直接反證法，求f（0），然后通過反證法結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，證明f（x）為奇函數(shù)； 
（2）通過已知條件化簡(jiǎn)f（-5=5f（-1），利用f（1）=3，即可求f（-5）．

解答： 解：（1）由于對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
故在上式中可令x=y=0，則有：f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．…（2分）
再令 y=-x，則有：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
所以：f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)．…（5分）
（2）由于f（x）為奇函數(shù)，且f（x+y）=f（x）+f（y），
f（-5）=f[（-1）+（-1）+（-1）+（-1）+（-1）]=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）
=5f（-1）=-f（1）=-5×3=-15…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的證明，考查計(jì)算能力．