Question

已知圓O：x²+y²=4，圓O與x軸交于A、B兩點，過點B的圓的切線為l，P是圓上異于A、B的一點，PH垂直于x軸，垂足為H，E是PH的中點，延長AP，AE分別交l于F，C．
（1）若點P（1，

3

），求以FB為直徑的圓的標準方程；
（2）當P在圓O上運動時，證明：直線PC恒與圓O相切．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先確定直線AP的方程為y=

3

3

（x+2）．求得F（2，

4 3

3

），確定直線AE的方程為y=

3

6

（x+2），求得C（2，

2 3

3

），由此可得圓的方程；
（2）設P（x₀，y₀），則E（x₀，

y0

2

），求得直線AE的方程，進而可確定直線PC的斜率，由此即可證得直線PC與圓O相切．

解答： （1）證明：由P（1，

3

），A（-2，0）
∴直線AP的方程為y=

3

3

（x+2）．
令x=2，得F（2，

4 3

3

）．（2分）
由E（1，

3

2

），A（-2，0），則直線AE的方程為y=

3

6

（x+2），
令x=2，得C（2，

2 3

3

）．（4分）
∴C為線段FB的中點，以FB為直徑的圓恰以C為圓心，半徑等于

2 3

3

∴圓的方程為（x-2）²+（y-

2 3

3

）²=

4

3

，且P在圓上；
（2）證明：設P（x₀，y₀），則E（x₀，

y0

2

），則直線AE的方程為y=

y0

2(x0+2)

（x+2）
在此方程中令x=2，得C（2，

2y0

x0+2

）
直線PC的斜率為

2y0 x0+2 -y0

2-x0

=-

x0y0

4-x02

=-

x0

y0

若x₀=0，則此時PC與y軸垂直，即PC⊥OP；         （13分）
若x₀≠0，則此時直線OP的斜率為

y0

x0

，
∵

y0

x0

×（-

x0

y0

）=-1
∴PC⊥OP
∴直線PC與圓O相切．（16分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓的方程，解題的關鍵是確定圓的圓心與半徑，利用斜率關系確定直線與圓相切．