Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-m-ln（2x）．
（Ⅰ）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f（x）＞-ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意可知f'（1）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的單調(diào)性及f'（1）=0可知其符合變化規(guī)律，從而可得單調(diào)性；
（Ⅱ）x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，取函數(shù)h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），可得f（x）=e^x-m-ln（2x）≥e^x-2-ln（2x）≥x-1-ln（2x）≥-ln2，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-m-ln（2x），
∴f′（x）=e^x-m-

1

x

，
由x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)得f′（1）=0，
即e^1-m-1=0，∴m=1．　　　       …（2分）
于是f（x）=e^x-1-ln（2x），f′（x）=e^x-1-

1

x

，
由f″（x）=e^x-1+

1

x2

＞0知 f′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f′（1）=0，
∴x=1是f′（x）=0的唯一零點(diǎn)．          …（4分）
因此，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴函數(shù)f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．  …（6分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-m≥e^x-2，
又e^x≥x+1，∴e^x-m≥e^x-2≥x-1．　   …（8分）
取函數(shù)h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，得函數(shù)h（x）在x=1時(shí)取唯一的極小值即最小值為h（1）=-ln2．　…（12分）
∴f（x）=e^x-m-ln（2x）≥e^x-2-ln（2x）≥x-1-ln（2x）≥-ln2，
而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故f（x）＞-ln2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．