Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₂=

1

9

，a₄=

1

81

，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n•log₃a_n+1，求數(shù)列{

1

bn

}的前n和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)公比為q，由已知條件得

a4

a2

=

1

9

=q2，從而得到q=

1

3

，或q=-

1

3

．由此利用分類思想能求出數(shù)列{a_n}通項公式．
（Ⅱ）由b_n=log₃|a_n|•log₃|a_n+1|=n（n+1），得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

bn

}的前n和T_n．

解答： 角：（Ⅰ）設(shè)公比為q，∵a₂=

1

9

，a₄=

1

81

，n∈N^*，∴

a4

a2

=

1

9

=q2，
∴q=

1

3

，或q=-

1

3

．
①當(dāng)q=

1

3

時，a1=

1 9

1 3

=

1

3

，
an=(

1

3

)n，n∈N^*．
②q=-

1

3

時，a1=

1 9

- 1 3

=-

1

3

，
an=(-

1

3

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）∵b_n=log₃|a_n|•log₃|a_n+1|=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，n∈N^*．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．