Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₄=12，S₆=30．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-a_n且b₁=4，
（i）證明：數(shù)列{b_n-2n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)；
（ii）當(dāng)n≥2時(shí)，比較b_n-1•b_n+1與b_n²的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，布列關(guān)于首項(xiàng)a₁與公差d的方程組，解之即可求得a_n；
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，易證數(shù)列{b_n-2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，繼而可得{b_n}的通項(xiàng)；
（ii）作差比較，整理可得b_n-1•b_n+1-b_n²=2ⁿ（n-3）-4，通過(guò)對(duì)n取值情況的討論，可得b_n-1•b_n+1與b_n²的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得

4a1+ 4×3 2 d=12 6a1+ 6×5 2 d=30

，…3分
解得

a1=0 d=2

，所以a_n=2n-2…5分
（Ⅱ）（i）由已知得b_n+1=2b_n-2n+2，即b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n）且b₁-2=2，
所以數(shù)列{b_n-2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…8分
則b_n-2n=2ⁿ，所以b_n=2ⁿ+2n…10分
（ii）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-1•b_n+1-b_n²=[2^n-1+2（n-1）][2ⁿ⁺¹+2（n+1）]-（2ⁿ+2n）²
=2²ⁿ+2ⁿ（n+1）+2ⁿ×4（n-1）+4（n²-1）-（2²ⁿ+4n×2ⁿ+4n²）
=2ⁿ（n-3）-4…13分
所以當(dāng)n=2或n=3時(shí)，b_n-1•b_n+1＜b_n²…14分
當(dāng)n≥4時(shí)，b_n-1•b_n+1＞b_n²…15分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比關(guān)系的確定，突出考查作差法在比較大小中的應(yīng)用，屬于難題．