【題目】對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,記,給出下列定義:

①若存在實數(shù),使成立,則稱數(shù)列為“有上界數(shù)列”;

②若數(shù)列為有上界數(shù)列,且存在,使成立,則稱數(shù)列為“有最大值數(shù)列”;

③若,則稱數(shù)列為“比減小數(shù)列”.

1)根據(jù)上述定義,判斷數(shù)列是何種數(shù)列?

2)若數(shù)列中,,,求證:數(shù)列既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列;

3)若數(shù)列是單調遞增數(shù)列,且是有上界數(shù)列,但不是有最大值數(shù)列,求證:,

【答案】(1)既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)由,,得,,由此得到數(shù)列既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列.

2)先用數(shù)學歸納法證明,再證明.然后證明,由此得到數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列.

3)假設對于,由此推導出無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列,與已知矛盾,假設不成立,從而得到對于數(shù)列,,

解:(1)由題意知,

,

,且存在,,

所以數(shù)列既是有上界數(shù)列,又是有最大值數(shù)列.

2)數(shù)列中,,,

下面用數(shù)學歸納法證明,

,命題;

②假設時命題成立,即

時,

,

所以,當時,命題成立,即

下面證明

因為,所以,即

,

兩式相除得:,,

所以,,,

下面證明,

即需證明,即需證明,

已證明成立,

所以,

,

所以,數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列.

3)用反證法,假設對于,

,

因為無窮數(shù)列各項為正且單調遞增,所以

,

所以.當時,

,所以無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列,與已知矛盾,假設不成立,

因此,對于數(shù)列,,

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A.3.14B.3.11C.3.10D.3.05

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A.B.C.D.

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