Question

f（x）=lnx-ax+2a-1，若x∈（0，1]，

a-1

x

≤f（x）恒成立，求a取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）的定義域，然后將“

a-1

x

≤f（x）恒成立”轉(zhuǎn)化為“a（x²-2x+1）≤xlnx-x+1恒成立”，然后分x=1和0＜x＜1兩種情況分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，研究其最值求出a的范圍，注意．

解答： 解：由題意，要使x∈（0，1]，

a-1

x

≤f（x）恒成立，
只需a（x²-2x+1）≤xlnx-x+1，x∈（0，1]恒成立即可，
當(dāng)x=1時(shí)，上式為0≤0恒成立，故此時(shí)a∈R；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，上式化為a≤

xlnx-x+1

(x+1)2

，x∈（0，1）恒成立，
令g(x)=

xlnx-x+1

(x+1)2

，則g′(x)=

(x-1)(2-lnx)

x+1

，因?yàn)?＜x＜1，所以lnx＜0，所以2-lnx＞0，
所以g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上遞減，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）≤g（1）=0（事實(shí)上取不到g（1）），
故此時(shí)a≤0為所求；
綜上可知，a≤0為所求的范圍．
故答案為（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立條件下參數(shù)范圍的求法，一般是通過分離參數(shù)，然后求函數(shù)的最值解決問題，要注意導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性時(shí)的應(yīng)用．