Question

20．已知f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$（0＜a＜1）
（1）證明：f（x）定義域上的減函數(shù)；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先化簡f（x），求出定義域為R，再用定義證明f（x）是定義域R上的減函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）在定義域R上是減函數(shù)，求出-1＜f（x）＜1，即得f（x）的值域．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$（0＜a＜1），
且a^2x+1≠0，∴x∈R；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$
=$\frac{2{（a}^{{2x}_{1}}{-a}^{{2x}_{2}}）}{{（a}^{{2x}_{1}}+1）{（a}^{{2x}_{2}}+1）}$；
∵0＜a＜1，且x₁＜x₂，
∴${a}^{{2x}_{1}}$＞${a}^{{2x}_{2}}$，∴2（${a}^{{2x}_{1}}$-${a}^{{2x}_{2}}$）＞0，且（${a}^{{2x}_{1}}$+1）（${a}^{{2x}_{2}}$+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是定義域R上的減函數(shù)；
（2）∵f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$是定義域R上的減函數(shù)，且0＜a＜1；
∴當x→-∞時，a^2x→+∞，$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→0，∴f（x）＜1；
當x→+∞時，a^2x→0，$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→2，∴f（x）＞-1；
∴f（x）的值域是（-1，1）．

點評 本題考查了利用定義判斷函數(shù)的單調性問題，也考查了利用函數(shù)的單調性求值域的問題，是基礎題目．