已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸與短軸之和為2
2
+2，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+2y+
5
=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件得
2a+2b=2
2
+2
b=
|5|
1+4
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)AB的方程為：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸與短軸之和為2
2
+2，
以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+2y+
5
=0相切，
∴
2a+2b=2
2
+2
b=
|5|
1+4
，解得a=
2
，b=1，
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)AB的方程為：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
，
△=64k4+4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2
，
∵
OA
+
OB
=t
OP
，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，
y=
y1+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)
，
∵點(diǎn)P在橢圓上，
∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2•
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，
∴16k2=t2（1+2k2），∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，∴|
AB
|＜
2
5
3
，
∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，
∴（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2}＜
20
9
，
∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，∴k2＞
1
4
，
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，∵16k2=t2（1+2k2），
∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，t2∈(
8
3
，4)，
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-2，-
2
6
3
）∪（
2
6
3
，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx+
1
x
-x，g（x）=
1
m
lnx．
（1）當(dāng)x≥1時(shí)，總有f（x）≤0，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m∈[3，+∞）時(shí)，曲線F（x）=f（x）+g（x）上總存在相異兩點(diǎn)A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），使得曲線F（x）在點(diǎn)A、B處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+4，其中a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
loga(-x2-x)
（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定義域
（2）求f（x）的值域
（3）判斷f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
1+x
1-x

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）在[0，
1
2
]上的單調(diào)性并求值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線x-ay+2=0將圓x2+y2-2x+4y-13=0分成兩段弧，其中較短的一段弧所對(duì)圓心角為
π
2
，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1上，F(xiàn)為BB1中點(diǎn)，且FD⊥AC1，有下述結(jié)論
（1）AC1⊥BC；
（2）
AD
DC1
=1；
（3）二面角F-AC1-C的大小為90°；
（4）三棱錐D-ACF的體積為
3
3
．
正確的有
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科）方程|x2+2x|=ax+1有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出如下五個(gè)結(jié)論：
①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；
②若命題p：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，則?p：對(duì)任意x∈R，則x2+x+1≥0；
③“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件；
④存在實(shí)數(shù)x∈R，使sinx+cosx=
π
2
成立；
⑤對(duì)任意的x＞0，都有x＞lnx．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案