Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）若x=e為y=f（x）的極大值點，求實數(shù)a；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使得對?∈x[1，e²]，恒有f（x）≤4e²成立．

Answer 1

分析 （1）利用極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，求出導(dǎo)函數(shù)，將x=e代入等于0，求出a，再將a的值代入檢驗．
（2）對x[1，e²]，進行分區(qū)間討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍

解答 解：（1）f′（x）=2（x-a）lnx+$\frac{（x-a）^{2}}{x}$
=（x-a）（2lnx+1-$\frac{a}{x}$）
因為x=e是f（x）的極大值點
所以f'（e）=（e-a）（3-$\frac{a}{e}$）=0
解得a=e 或a=3e，經(jīng)檢驗，a=e時符合題意，
所以a=e；
（2）f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
解得：e²-$\sqrt{2}$e≤a≤e²+$\sqrt{2}$e
由（1）知f′（x）=2（x-a）lnx+$\frac{（x-a）^{2}}{x}$
=（x-a）（2lnx+1-$\frac{a}{x}$）
令h（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$
∴h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0；
h（　e²　）=5-$\frac{a}{{e}^{2}}$＞0
又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h（x）在在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點，記此零點為x₀
則1＜x₀＜e²，1＜x₀＜a，從而，當(dāng)x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₀，a）時，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，
在（x₀，a）內(nèi)是減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
所以要使得對任意的x∈[1，e²]，恒有f（x）≤4e²成立只要
f（x₀）=（x₀-a）²lnx₀≤4e²
f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
有h（x0）=2lnx0+1-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0得a=2x0lnx0+x0
將它代入f（x₀）=（x₀-a）²lnx₀≤4e²
得4${{x}_{0}}^{2}$lnx03≤4e2
又x₀＞1，注意到函數(shù)4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數(shù)故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得1＜a≤3e，
由f（e²）=2（e²-a）2≤4e²
解得：e²-$\sqrt{2}$e≤a≤e²+$\sqrt{2}$e
所以得e²-$\sqrt{2}$e≤a≤3e、

點評 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，不等式的基礎(chǔ)知識．難點是推理論證能力和分類討論能力．解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)，利用二次求導(dǎo)和函數(shù)零點分區(qū)間計論導(dǎo)函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，