【題目】設(shè)直線l:y=2x﹣1與雙曲線(,)相交于A、B兩個(gè)不
同的點(diǎn),且(O為原點(diǎn)).
(1)判斷是否為定值,并說明理由;
(2)當(dāng)雙曲線離心率時(shí),求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)為定值5.將直線y=2x﹣1與雙曲線的方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理即可得到定值;
(2)運(yùn)用雙曲線的離心率公式和(1)的結(jié)論,解不等式即可得到所求實(shí)軸的范圍.
(1)為定值5.
理由如下:y=2x﹣1與雙曲線聯(lián)立,
可得(b2﹣4a2)x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0,(b≠2a),
即有△=16a4+4(b2﹣4a2)(a2+a2b2)>0,
化為1+b2﹣4a2>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,由(O為原點(diǎn)),可得
x1x2+y1y2=0,即有x1x2+(2x1﹣1)(2x2﹣1)=5x1x2﹣2(x1+x2)+1=0,
即5﹣2+1=0,
化為5a2b2+a2﹣b2=0,即有=5,為定值.
(2)由雙曲線離心率時(shí),
即為<<,即有2a2<c2<3a2,
由c2=a2+b2,可得a2<b2<2a2,即<<,
由=5,可得<﹣5<,化簡可得a<,
則雙曲線實(shí)軸長的取值范圍為(0,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上的三點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(1)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明: ,總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣2,0),B(0,1)在橢圓C: (a>b>0)上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)P是線段AB上的點(diǎn),直線y= x+m(m≥0)交橢圓C于M、N兩點(diǎn),若△MNP是斜邊長為 的直角三角形,求直線MN的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面向量 、 滿足| |=| |=1, = ,若向量 滿足| ﹣ + |≤1,則| |的最大值為( )
A.1
B.
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,若A滿足2cos2A+cos(2A+ )=﹣ .
(Ⅰ)求A的值;
(Ⅱ)若c=3,△ABC的面積為3 ,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)y=f(x)為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,若f(x2﹣2x)+f(2b﹣b2)≤0,且0≤x≤2,則x﹣b的取值范圍是( )
A.[﹣2,0]
B.[﹣2,2]
C.[0,2]
D.[0,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,離心率為,并過點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若 =3n﹣1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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