Question

已知命題p：關(guān)于x的方程x2+mx+

1

2

=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q：函數(shù)f(x)=lg[(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m]的定義域?yàn)镽．
（1）若命題p、q都是真命題時(shí)m的取值范圍分別是集合A和集合B，求集合A和集合B；
（2）若命題“（?p）∨（?q）”是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）命題p是真命題時(shí)，

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

命題q是真命題時(shí)，(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m＞0對(duì)?x∈R恒成立，
可結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行處理．分1-

1

m

= 0和1-

1

m

＞0兩種情況進(jìn)行討論．
（2）若命題“（?p）∨（?q）”是假命題，即p和q均為真命題，只要求集合A和B的交集．

解答：解：（1）當(dāng)命題p是真命題時(shí)：
設(shè)x₁，x₂是方程x2+mx+

1

2

=0的兩個(gè)根，
則有：

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

解得：m＞

2

，即集合A={x|m＞

2

}．
當(dāng)命題q是真命題時(shí)：
①當(dāng)1-

1

m

=0即m=1時(shí)，f（x）=lg1，
定義域?yàn)镽，符合題意；
②當(dāng)1-

1

m

≠0即m≠1且m≠0時(shí)，
由

1- 1 m ＞0 △2=4(m-1)2-4m• m-1 m ＜0

，
得

m＜0，或m＞1 1＜m＜2

即1＜m＜2
綜上，1≤m＜2，所以集合B={m|1≤m＜2}．
（2）命題“（?p）∨（?q）”是假命題，
即p∧q是真命題（11分）
所以有

m＞ 2 1≤m＜2

解得：

2

＜m＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假為載體考查二次方程實(shí)根分布問題和二次不等式很成立問題．
二次方程實(shí)根分布問題和二次不等式很成立問題都要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行處理，體現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系．