Question

1．已知a，b，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）求證：$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{y}$≥$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$，并指出等號(hào)成立的條件；
（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$（x∈（0，$\frac{1}{2}$））的最小值，并求出等號(hào)成立時(shí)的x值（必須使用（1）中的結(jié)論，否則不給分）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{y}$-$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$的符號(hào)，得到大小關(guān)系；
（Ⅱ）對(duì)f（x）變形，利用基本你打算求之．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{y}$-$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$=$\frac{（ay-bx）^{2}}{xy（x+y）}$…（3分）
∵a，b，x，y∈（0，+∞），
∴xy（x+y）＞0，（ay-bx）²≥0
所以$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{^{2}}{y}$≥$\frac{（a+b）^{2}}{x+y}$，…（5分）
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)成立．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$=$\frac{4}{2x}+\frac{9}{1-2x}≥\frac{（2+3）^{2}}{2x+1-2x}$=25，…（10分）
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)2（1-2x）=3×2x即x=$\frac{1}{5}$∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)成立，…（11分）
所以，x=$\frac{1}{5}$時(shí)，f（x）的最小值為25．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了比較法證明不等式、利用基本不等式求最值．