Question

函數(shù)y=sinx+

4

sinx

，x∈[

π

4

，

3π

4

]的最小值為（　�。�

• A、4
• B、5
• C、

  9

  2

  2

• D、5

  2

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，知

2

2

≤sinx≤1，令令t=sinx，t∈[

2

2

，1]，利用雙鉤函數(shù)f（t）=t+

4

t

在[

2

2

，1]上單調(diào)遞減的性質(zhì)即可求得其最小值．

解答： 解：∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sinx≤1，
令t=sinx，t∈[

2

2

，1]，
∵f′（t）=1-

4

t2

，
由1-

4

t2

＜0（t≠0）得：-2＜t＜0或0＜t＜2，
∴雙鉤函數(shù)f（t）=t+

4

t

在（0，2）上單調(diào)遞減，[

2

2

，1]?（0，2），
∴f（t）=t+

4

t

在[

2

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴f（t）_min=f（1）=1+4=5，
即函數(shù)y=sinx+

4

sinx

，x∈[

π

4

，

3π

4

]的最小值為5，
故選：B．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查轉(zhuǎn)化思想與雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．