Question

若f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：
①y=|f（x）|是偶函數(shù)；
②對任意的x∈R都有f（-x）+|f（x）|=0；
③y=f（-x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增；
④y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
其中正確的結(jié)論為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：①∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|為偶數(shù)，即函數(shù)為偶數(shù)，∴①正確；
②設(shè)f（x）=x，滿足條件，則f（-x）+|f（x）|=-x+|x|；
但當(dāng)x＜0時，f（-x）+|f（x）|=-x-x=-2x＜0，
∴對任意的x∈R都有f（-x）+|f（x）|=0不成立，∴②錯誤；
③∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）是R上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知y=f（-x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，∴③錯誤；
④∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴y=f（x）f（-x）=-f²（x），
設(shè)t=f（x），則y=-t²，
∵f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
且f（x）≤f（0）=0，
函數(shù)y=-t²，在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的性質(zhì)可知y=f（x）f（-x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，∴④正確．
故正確的是①④，
故答案為：①④

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強．