Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+3，x=2是y=f（x）的一個極值點．
（1）求實數(shù)a的值．
（2）若方程f（x）=m只有一個解，則m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax，且f′（2）=12+4a=0，由此能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+3，f′（x）=3x²-6x，由此利用導數(shù)性質(zhì)f（x）_極小值=f（2）=-1，f（x）_極大值=f（0）=3，由此能求出滿足方程f（x）=m只有一個解的m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+3，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵x=2是y=f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=12+4a=0，解得a=-3．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²+3，
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；當x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間為（0，2），
∴f（x）_極小值=f（2）=-1，f（x）_極大值=f（0）=3，
∵方程f（x）=m只有一個解，
∴結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，得m＜-1或m＞3．

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．