Question

已知函數(shù)f（x）=|

1

|x|

-1|，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6個不同的實數(shù)解，則b，c的取值情況可能的是：

 

．
①-1＜b＜0，c=0   ②1+b+c＞0，c＞0   ③1+b+c＜0，c＞0   ④1+b+c=0，0＜c＜1．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，令g（u）=u²+bu+c，通過條件判斷函數(shù)的零點所在的位置，從而說明方程的根的個數(shù)．

解答： 解：若①-1＜b＜0，c=0，
則由f²（x）+bf（x）+c=0得：
f（x）=-b或f（x）=0，
則|

1

|x|

-1|=-b或|

1

|x|

-1|=0，
即

1

|x|

=1-b或

1

|x|

=1+b或

1

|x|

=1共6個不同的實數(shù)解，成立；
若②1+b+c＞0，c＞0，
則令g（u）=u²+bu+c，則g（0）＞0，g（1）＞0，
則g（u）=u²+bu+c的零點都在0的左側(cè)或都在（0，1）之間或都在1的右側(cè)，
當(dāng)都在0的左側(cè)時，方程f²（x）+bf（x）+c=0無解，
當(dāng)都在（0，1）之間時，方程f²（x）+bf（x）+c=0有4解或8解，
當(dāng)都在1的右側(cè)時，方程f²（x）+bf（x）+c=0有2個或4個解．
故不成立；
若③1+b+c＜0，c＞0，
同②，g（u）=u²+bu+c的零點在（0，1）之間有一個，另一個在0的左側(cè)或在1的右側(cè)，
當(dāng)在1的右側(cè)時，方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6個不同的實數(shù)解，成立；
若④1+b+c=0，0＜c＜1，
u²+bu+c=0有一個根為1，另一個根可能在（0，1）之間，
則方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6個不同的實數(shù)解，成立；
故答案為：①③④．

點評：本題考查了函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．