Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為4。

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交軌跡于兩點(diǎn)。

①若的面積為3，求的值。

②記直線的斜率為，證明： 為定值，并求出這個(gè)定值。

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ①2. ②2.

【解析】試題分析：（1）設(shè)圓心，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn)即可，需驗(yàn)證，即可得出圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為， ，聯(lián)立直線與曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得出， ；①表示出，化簡(jiǎn)即可解出；②設(shè)，表示出， ，根據(jù)共線，即可求出與的關(guān)系，同理可得的坐標(biāo)，從而表示出，即可得到為定值.

試題解析：（1）設(shè)圓心，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則.

∴

∴，化簡(jiǎn)為：.

當(dāng)時(shí)，也滿足上式.

∴動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為。

（2）設(shè)直線的方程為， ，

由，得，

， .

①，解得.

②設(shè)，則， .

∵共線

∴，即，解得： （舍）或.

∴，同理，

∴

∴（定值）