Question

設(shè)f（x）=

e-x

a

+

a

e-x

是定義在R上的函數(shù)
（1）f（x）可能是奇函數(shù)嗎？
（2）當(dāng)a=1時(shí)，試研究f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域是R，所以f（-x）=-f（x）對(duì)任意x都成立，可得a²+1=0，顯然該方程無解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域是R，所以f（-x）=-f（x）對(duì)任意x都成立，
即

e-x

a

+

a

e-x

=-(

e-x

a

+

a

e-x

)，整理得(a+

1

a

)(ex+e-x)=0，
即a+

1

a

=0，即a²+1=0，顯然該方程無解，
所以f（x）不可能是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x+e^-x，以下討論其單調(diào)性；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ex1+e-x1-ex2-e-x2=

(ex1-ex2)(ex1+x2-1)

ex1•ex2

，
其中ex1•ex2＞0，ex1-ex2＜0，當(dāng)ex1+x2-1＞0時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），f（x）為減函數(shù)，
此時(shí)需要x₁+x₂＞0，即增區(qū)間為[0，+∞），反之（-∞，0]為減函數(shù)，
即函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0]上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，正確運(yùn)用定義是關(guān)鍵．