Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)k＞0時(shí)，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間$（{1，\sqrt{e}}]$上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由解析式求出定義域和f′（x），化簡(jiǎn)后對(duì)k進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分別求出函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間；
（2）由（1）求函數(shù)的最小值，由條件列出不等式求出k的范圍，對(duì)k進(jìn)行分類討論，并分別判斷在區(qū)間$（{1，\sqrt{e}}]$上的單調(diào)性，求出f（1）和f（$\sqrt{e}$）、判斷出符號(hào)，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{x}^{2}}{2}-klnx$得，函數(shù)的定義域是（0，+∞），
$f′（x）=x-\frac{k}{x}$=$\frac{{x}^{2}-k}{x}$；
①當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)k＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=$\sqrt{k}$或x=-$\sqrt{k}$（舍去），
當(dāng)$x＞\sqrt{k}$時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)$0＜x＜\sqrt{k}$時(shí)，令f′（x）＜0，
所以f（x）的遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{k}$），遞增區(qū)間是（$\sqrt{k}，+∞$）；…（6分）
證明：（2）由（1）知，當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最小值為
f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}-k•ln\sqrt{k}$=$\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，解得k≥e．
當(dāng)k=e時(shí)，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）上遞減，且f（$\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上的唯一零點(diǎn)．
當(dāng)k＞e時(shí)，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，
且f（1）=$\frac{1}{2}＞$0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，
所以f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個(gè)零點(diǎn)…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求導(dǎo)公式、法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，考查分類討論思想，化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．