Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（-x）=-g（x），則函數(shù)f（x）的圖象（　�。�

• A． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱
• B． 關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對(duì)稱
• C． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）對(duì)稱
• D． 關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的奇偶性求得φ，可得g（x）、f（x）的解析式．再利用正弦函數(shù)的圖象的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的圖象，
若g（-x）=-g（x），則函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．
故 $\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
再結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．