Question

2．已知動點Q與兩定點（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）連線的斜率的乘積為-$\frac{1}{2}$，點Q形成的軌跡為M．
（Ⅰ）求軌跡M的方程；
（Ⅱ）過點P（-2，0）的直線l交M于A、B兩點，且$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$，平行于AB的直線與M位于x軸上方的部分交于C、D兩點，過C、D兩點分別作CE、DF垂直x軸于E、F兩點，求四邊形CEFD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用動點Q與兩定點（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）連線的斜率的乘積為-$\frac{1}{2}$，建立方程，化簡可求軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為x=my+n，代入橢圓方程，求出四邊形CEFD面積，利用基本不等式求最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動點Q的坐標(biāo)是（x，y），由題意得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}•\frac{y}{x-\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$（x$≠±\sqrt{2}$），
化簡，整理得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
故Q點的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x$≠±\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為x=my+n，代入橢圓方程可得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
△=8（m²-n²+2）
設(shè)直線l與曲線M的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+2}$①，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{m}^{2}+2}$②，
∵$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$，∴y₂=3y₁，③
n=-2時，由①②③可得m=±2，滿足△＞0．
不妨取m=2，則y₁+y₂=-$\frac{2}{3}$n，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{6}$，
由已知及△＞0，可得2＜n²＜6，
∵|x₁-x₂|=2|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{12-2{n}^{2}}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|y₁+y₂||x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$$\sqrt{{n}^{2}（6-{n}^{2}）}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{9}×\frac{6}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n²=3時等號成立，
∴四邊形CEFD面積的最大值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形CEFD面積的最大值，基本不等式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．