Question

現(xiàn)有兩只口袋A，B，口袋A中裝著編號(hào)分別為1，3，5，7，9的五個(gè)形狀完全相同的小球，口袋B中裝著編號(hào)分別為2，4，6，8的四個(gè)形狀完全相同的小球，某人先從口袋A中隨機(jī)摸出一小球，記編號(hào)為a，然后從口袋B中摸小球，若所得小球的編號(hào)為2a，則停止，否則再?gòu)目诖麭中剩余的小球中摸一球，將從口袋B中所得小球的編號(hào)相加，若和為2a，則停止，否則一直摸下去，直到和為2a為止，或者直到小球摸完為停止．
（1）求此人只摸兩次的概率；
（2）若此人摸小球的次數(shù)X與所得獎(jiǎng)金的函數(shù)關(guān)系為Y=100（5-X），求獎(jiǎng)金Y的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)從A中摸到編號(hào)的小球?yàn)锳_i（i=1，3，5，7，9），從B中摸到的小球的編號(hào)為B_i（i=2，4，6，8），
此人只摸兩次的概率．
（2）X可能出現(xiàn)的值為2，3，4，5，η可能出現(xiàn)的值為300，200，100，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出獎(jiǎng)金Y的分布列與期望．

解答： 解：（1）設(shè)從A中摸到編號(hào)的小球?yàn)锳_i（i=1，3，5，7，9），
從B中摸到的小球的編號(hào)為B_i（i=2，4，6，8），
此人只摸兩次的概率為：
p=P（A₁B₂+A₃B₄）=P（A₁B₂）+P（A₃B₄）
=

1

5

×

1

4

+

1

5

×

1

4

=

1

10

．
（2）X可能出現(xiàn)的值為2，3，4，5，
P（X=2）=P（A₁B₂+A₃B₄）=

1

5

×

1

4

×2=

1

10

，
P（X=3）=P（2A₁B₂B₄+2A₃B₂B₆+2A₅B₄B₆+2A₇B₆B₈）
=4×2×

1

5

×

1

4

×

1

3

=

2

15

，
P（ξ=4）=P（6A₇B₂B₄B₆+6A₉B₄B₆B₈）
=6×2×

1

5

×

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

10

，
P（ξ=5）=1-（

1

10

+

2

15

+

1

10

）=

2

3

，
由題意知η可能出現(xiàn)的值為300，200，100，0，其分布列為：

η	300	200	100	0
P	1 10	2 15	1 10	2 3

Eη=300×

1

10

+200×

2

15

+100×

1

10

=

200

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．