Question

【題目】設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿(mǎn)足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.

(1)求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)g(x)＝f′(x)e－x，求函數(shù)g(x)的極值．

Answer 1

【答案】（1）6x＋2y－1＝0.；（2）15e－3.

【解析】

試題（I）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計(jì)算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點(diǎn)斜式方程，即可得到曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程．

（II）根據(jù)g（x）=f′（x）e﹣1求出函數(shù)g（x）的解析式，然后求出g（x）的導(dǎo)數(shù)g'（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)后，利用零點(diǎn)分段法，分類(lèi)討論后，即可得到函數(shù)g（x）的極值．

解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3

令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1

∴f（1）=﹣，

又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，

故曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x

從而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x

令g'（x）=0，則x=0或x=3

∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g'（x）＜0，

當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＞0，

當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，

∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0時(shí)取極小值g（0）=﹣3，在x=3時(shí)取極大值g（3）=15e﹣3