【題目】如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，，，為線段上一點(diǎn).

(1)若，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由

(2)己知，若異面直線與成角，二而角的余弦值為，求的長.

【答案】（1）存在，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）2.

【解析】

(1) 延長，交于點(diǎn)，連接。通過證明及，可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)P。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角夾角的余弦值即可得參數(shù)t的值，進(jìn)而求得CD的長。

解：（1）延長，交于點(diǎn)，連接，則平面.

若平面，由平面平面，平面，則.

由，，則，

故點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

（2）∵，，，平面，平面，

則平面

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸、軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則，，，，則，，

設(shè)平面和平面的法向量分別為，.

由，得即，

令，則，故.

同理可求得.

于是，則，解之得（負(fù)值舍去），故.

∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．

（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在疫情這一特殊時(shí)期，教育行政部門部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進(jìn)行了摸底考試，某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成績與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高三學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查.知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長是不超過1小時(shí)的，得到了如下的等高條形圖：

（Ⅰ）是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”；

（Ⅱ）將頻率視為概率，從全校高三學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，求抽取的10人中每天在線學(xué)習(xí)時(shí)長超過1小時(shí)的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于3的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列命題正確的是（ ）

A.當(dāng)時(shí)，

B.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)

C.的解集為

D.，都有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(12分) 由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字。

（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

（3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？

（4）組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某媒體對“男女延遲退休”這一公眾關(guān)注的問題進(jìn)行了民意調(diào)查，下表是在某單位調(diào)查后得到的數(shù)據(jù)(人數(shù))：

贊同

反對

合計(jì)

男

5

6

11

女

11

3

14

合計(jì)

16

9

25

（1）能否有90%以上的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān)?

（2）進(jìn)一步調(diào)查：

①從贊同“男女延遲退休”的人中選出人進(jìn)行陳述發(fā)言，求事件“男士和女士各至少有人發(fā)言”的概率；

②從反對“男女延遲退休”的人中選出人進(jìn)行座談，設(shè)選出的人中女士人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若，證明 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知，，，曲線段是以點(diǎn)為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在、上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到）．

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