Question

已知實數(shù)a滿足0＜a＜2，直線l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0與兩坐標軸圍成一個四邊形．
（1）求證：無論實數(shù)a如何變化，直線l₁、l₂必過定點．
（2）畫出直線l₁和l₂在平面坐標系上的大致位置．
（3）求實數(shù)a取何值時，所圍成的四邊形面積最��？

Answer 1

分析：（1）把所給的兩個直線的方程進行整理，把含有字母a的部分都分開，提出a，得到一個直線的方程，把兩個方程聯(lián)立得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的條件畫出直線的大致位置，如圖．
（3）求出直線與坐標軸的交點，把一個四邊形轉(zhuǎn)化成兩個三角形，根據(jù)底邊和高得到三角形的面積，表示出面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答：證明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0變形得
a（x-2）-2y+4=0
所以，當x=2時，y=2
即直l₁過定點（2，2）
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0變形得a²（y-2）+2x-4=0
所以當y=2時，x=2
即直線l₂過定點（2，2）
（2）如圖：
（3）直線l₁與y軸交點為A（0，2-a），直線l₂與x軸交點為B（a²+2，0），如圖
由直線l₁：ax-2y-2a+4=0知，直線l₁也過定點C（2，2）
過C點作x軸垂線，垂足為D，于是
S_{四邊形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=

1

2

(2-a+2)•2+

1

2

a2•2
=a²-a+4
∴當a=

1

2

時，S_{四過形AOBC}最�。�
故當a=

1

2

時，所圍成的四邊形面積最�。�

點評：本題考查過頂點的直線和四邊形的面積的最值，本題解題的關(guān)鍵是表示出面積，在立體幾何和解析幾何中，不論求什么圖形的面積一般都要表示出結(jié)果，再用函數(shù)的最值來求．