Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，且|F₁F₂|=4，則a等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件知AF₁=AB=BF₂=c，∠F₁AF₂=120°，所以2a=（

3

+1）c，由|F₁F₂|=4能求出a=

3

+1．

解答： 解：設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點(diǎn)分別是A，B，
由題設(shè)條件知AF₁=AB=BF₂=c，∠F₁AF₂=120°，
∴AF₁=c，AF₂=

3

c，
∴2a=（

3

+1）c，
∵|F₁F₂|=4，∴c=2，
∴a=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的長(zhǎng)半軸的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．