Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，皆滿足（實(shí)常數(shù)）．在等差數(shù)（））中，，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）試判斷數(shù)列能否成等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（3）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并計(jì)算：（已知）．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3），

【解析】

（1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，皆滿足，令，得，令，得，，又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則公差，數(shù)列的通項(xiàng)公式可求．

（2）根據(jù)題意，，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：．即數(shù)列是等比數(shù)列，假設(shè)數(shù)列能成等比數(shù)列，推出，矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，即數(shù)列不能成等比數(shù)列，

（3），故的前n項(xiàng)和可以用錯(cuò)位相減法求，得到的前n項(xiàng)和后再求其極限即可．

解：（1）由，令得，，所以，，所以，．

等差數(shù)列的公差．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式

（2）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，皆滿足，

所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：．

即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，．

假設(shè)數(shù)列能成等比數(shù)列，則對(duì)任意正整數(shù)k，，即，

因?yàn)?/span>，所以，即．顯然不成立．

因此數(shù)列不可能為成等比數(shù)列．

（用特殊的項(xiàng)加以說(shuō)理亦可：例如，假設(shè)數(shù)列能成等比數(shù)列，則數(shù)列前3項(xiàng)也成等比，即，，因?yàn)?/span>，所以不成立）

（3），

，

，

上述兩式相減得：，

所以．

，

．