Question

設(shè)A是單位圓x²+y²=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（x，y），A（x₀，y₀），根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|，利用點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即得所求曲線C的方程；根據(jù)m∈（0，1）∪（1，+∞），分類討論，可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)M（x，y），A（x₀，y₀），
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x₀，|y|=m|y₀|，
∴x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|①；
∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，∴x₀²+y₀²=1②．
①代入②即得所求曲線C的方程為x2+

y2

m2

=1(m＞0，m≠1)，
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-

1-m2

，0），（

1-m2

，0）；
m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-

m2-1

），（0，

m2-1

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，計(jì)算要小心．