Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

an2an+12

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n²為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從而a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，由a_n＞0，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由

1

an2an+12

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

an2an+12

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2，
∴a_n²為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，
又a_n＞0，則a_n=

2n-1

．
（2）∵an=

2n-1

，
∴

1

an2an+12

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{

1

an2an+12

}的前n項(xiàng)和：
S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．