Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-1|
（1）若f（x-3）-x-10≥0，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x-3）＜m的解集不是空集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）根據(jù)絕對值的意義，求得f（x-3）的最小值，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x-3）-x-10≥0，即|x-3|+|x-4|-x-10≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x+4-x-x-10≥0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{3≤x＜4}\\{x-3+4-x-x-10≥0}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x-3+x-4-x-10≥0}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤-1，解②求得x∈∅，解③求得x≥17．
綜上可得，實數(shù)x的取值范圍為 {x|x≤-1，或x≥17 }．
（2）不等式f（x-3）＜m，即|x-3|+|x-4|＜m，而|x-3|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對應點到3、4對應點的距離之和，它的最小值為1，
再根據(jù)不等式的解集不是空集，可得m＞1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．