Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，且過點(2，

2

)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F₁作直線l₁與橢圓交于M，N兩點，過點F₂作直線l₂與橢圓交于P，Q兩點，且直線l₁，l₂互相垂直，試問

1

|MN|

+

1

|PQ|

是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出其取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為

2

2

，且過點(2，

2

)，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線l₁，l₂的方程，代入橢圓方程，利用弦長公式，求出|MN|=

4 2 (1+k2)

1+2k2

，|PQ|=

4 2 (1+k2)

2+k2

，代入

1

|MN|

+

1

|PQ|

，化簡，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓的離心率為

2

2

，且過點(2，

2

)，
∴

a2-b2 a = 2 2 4 a2 + 2 b2 =1

，
∴a=2

2

，b=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1-----------------（3分）
（2）設(shè)l₁：y=k（x+2），則l2：y=-

1

k

(x-2)
由

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

，消去y得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-8=0
所以|MN|=

4 2 (1+k2)

1+2k2

同理|PQ|=

4 2 (1+k2)

2+k2

所以，

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

1+2k2

4 2 (1+k2)

+

2+k2

4 2 (1+k2)

=

3(1+k2)

4 2 (1+k2)

=

3 2

8

-----------------（8分）
當(dāng)l₁斜率不存在時，|MN|=4

2

，|PQ|=2

2

，符合

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

當(dāng)l₂斜率不存在時，|MN|=2

2

，|PQ|=4

2

，符合

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

綜上，

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

-----------------（10分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．