Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x，（a，b∈R）在點x=-1處取得極大值為2，求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]的最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，得到不等式組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依題意得：f（-1）=2，f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-3=0}\\{-a+b+3=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在[-2，-1），（1，2]遞增，在（-1，1）遞減，
∴f（x）_極大值=f（-1）=-1+3=2，
f（x）_極小值=f（1）=1-3=-2，
而f（-2）=-8+6=-2，f（2）=8-6=2，
∴f（x）在[-2，2]上的最小值是-2，最大值是2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．