Question

16．拋物線C：y=x²在點P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$．當點P在C上移動時，點M的軌跡為D．
（1）求曲線D的方程；
（2）設(shè)直線l與曲線D的另一個交點為N，曲線D在點M、N處的切線分別為m、n，直線m、n相交于點Q．證明：PQ平行于x軸．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，可得直線l方程，確定A，B的坐標，利用，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，即可求出曲線D的方程；
（2）求出直線m、n的方程，確定點Q縱坐標為x₀²，即可證明PQ平行于x軸．

解答 解：（1）對y=x²，求導(dǎo)，得y′=2x．
設(shè)點P（x₀，x₀²）（x₀≠0），則直線l方程為y-x₀²=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²，
在l方程中分別令y=0，x=0，得A（$\frac{1}{2}$x₀，0）、B（0，-x₀²）．
設(shè)M（x，y），
∵$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$
∴（x-$\frac{1}{2}$x₀，y）=$\frac{1}{2}$（-x，-x₀²-y）．
由此得x₀=3x，x₀²=-3y，
消去x₀，得曲線D的方程為y=-3x²（x≠0）．
（2）將y=-3x²代入直線l方程，并整理得3x²+2x₀x-x₀²=0，
由（1）知，M（$\frac{{x}_{0}}{3}$，-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$），設(shè)N（x₁，-3x₁²），則$\frac{{x}_{0}}{3}$•x₁=-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，
∴x₁=-x₀．
對y=-3x²求導(dǎo)，得y′=-6x，
于是直線m、n的方程分別為y+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$=-2x₀（x-$\frac{{x}_{0}}{3}$）和y+3x₀²=6x₀（x+x₀），
即y=-2x₀x+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$和y=6x₀x+3x₀²，
由此得點Q縱坐標為x₀²，故PQ平行于x軸．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，知識綜合性強．